一、问题:
给定一个数据点的集合:
{ (xi, yi) | i = 1, 2, …, n}
现在使用m次多项式函数 y = amxm + am-1xm-1 + … + a2x2 + a1x + a0 对其进行拟合,使得拟合的误差平方和最小。
求能达到此目标的参数 [am , am-1 , …, a2 , a1 , a0]T 的值。
二、解:
特别地,当 m=3 时,y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 的拟合参数
当 m=2 时,y = a2x2 + a1x + a0 的拟合参数
当 m=1 时,y = a1x + a0 的拟合参数
这时其实是一种线性拟合。将以上矩阵求逆,相乘,计算出来后为:
参见:数据点的最小二乘线性拟合
三、证明:
当 m=1 时的证明,见 数据点的最小二乘线性拟合。
这里给出 m=3 时的推导过程。
每个原始数据点为(xi,yi),其拟合的点为,对每个xi,其拟合值与原始值yi的误差计为:
于是
令
则有
为了简便起见,令
则
现在来求能够使上式达到最小值的参数a3 , a2 , a1 , a0 。
分别对 a3 , a2 , a1 , a0 求偏微分,得:
令
上式即为如下线性方程组:
由之前的记号,上式就是:
解此线性方程组,得:
证毕。