一、问题:
给定一数据点的集合:{(xi, yi) | yi > 0, i = 1, 2, …, n }。现在使用对数函数 y = α * ln(x) + β 对其进行拟合,使得拟合的误差平方和最小。求能达到此目标的α、β值。
二、解决方案:
看到对数函数模型的表达式,很容易想起线性函数模型的表达式:y = α * x + β。于是,很自然地先对原始数据点的x分量做对数变换:
zi = ln(xi)
这样,对数回归模型的参数估计问题,就转换成了线性回归模型(y = α * zi + β)的参数估计问题,而后者已经解决了,参见《数据点的最小二乘线性拟合》。
由《数据点的最小二乘线性拟合》的解决方案可知:
将以上的zi用ln(xi)替换,便得到了最终的α和β值:
即:
三、应用:
在实际应用中,先对给定的x值求对数,然后用对数化的x值和原y值组成的数据点列,进行线性回归拟合。
在线统计计算器,就是使用这种方法,对数据进行对数回归拟合的。
使用截图: