一、问题:
给定一个数据点的集合:
{ (xi, yi) | i = 1, 2, …, n}
现在使用线性函数 y = αx + β 对其进行线性拟合,使得拟合的误差平方和最小。
求能达到此目标的α, β值。
二、解:
令
,,,,
则
,
三、证明:
每个原始数据点为(xi,yi),其拟合的点为,对每个xi,其拟合值与原始值yi的误差计为:
由于此拟合是线性的,即使用来作为yi的拟合值。所以
于是
令
则有
即
现在来求能够使上式的达到最小值的参数 α,β 。
分别对α,β 求偏微分,得:
令
, 即
解此二元一次方程组:
先将上面的联立方程组
的第二个方程,两边同时乘以(以消去β),得
(1)-(2)得
于是
再将联立方程组
的第一个方程两边同时乘以(以消去α),得
(3)-(4)得
于是
证毕。